СМЫСЛ

Онлайн помощь студентам

Оставить заявку
Задать вопрос
Вы можете уточнить интересующие вопросы любым удобным для Вас способом
VK
Telegram
Mail
WhatsApp

Модель изменения курса британского фунта к евро. GARCH-модели с коррекцией гетероскедастичности.

GARCH-модели в EViews.
Предварительный анализ. График временного ряда, коррелограмма, тесты единичного корня.
E_S – ежедневные котировки курса британского фунта к евро в период с 2 января 2013 года по 15 февраля 2024 года. Изобразим рассматриваемый временной ряд.
Рис. 1. Курс британского фунта к евро в период с 2 января 2013 года по 15 февраля 2024 года.
Наблюдаем два периода роста курса. Самый большой период роста до 23 июня 2016 года.
Построим коррелограмму временного ряда.
Рис. 2. Коррелограмма временного ряда.
По виду коррелограммы идентифицируем ряд как ряд авторегрессии 1-го порядка (AR(1)). Partial Correlation имеет чётко выраженный первый лаг, а Autocorrelation убывает по экспоненте.
Проверим стационарность временного ряда, используя расширенный тест Дикки-Фуллера (ADF-тест)

Null Hypothesis: E_S has a unit root

 

Exogenous: Constant

 

 

Lag Length: 0 (Automatic - based on SIC, maxlag=15)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t-Statistic

  Prob.*

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Augmented Dickey-Fuller test statistic

-2.942360

 0.0408

Test critical values:

1% level

 

-3.432337

 

 

5% level

 

-2.862303

 

 

10% level

 

-2.567221

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*MacKinnon (1996) one-sided p-values.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Augmented Dickey-Fuller Test Equation

 

Dependent Variable: D(E_S)

 

 

Method: Least Squares

 

 

Date: 07/15/24  Time: 13:31

 

 

Sample (adjusted): 2 2901

 

 

Included observations: 2900 after adjustments

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

E_S(-1)

-0.005704

0.001938

-2.942360

0.0033

C

0.006764

0.002309

2.929290

0.0034

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R-squared

0.002876

    Mean dependent var

-1.63E-05

Adjusted R-squared

0.002543

    S.D. dependent var

0.008092

S.E. of regression

0.008082

    Akaike info criterion

-6.797706

Sum squared resid

0.196083

    Schwarz criterion

-6.793706

Log likelihood

10212.15

    Hannan-Quinn criter.

-6.796267

F-statistic

8.657484

    Durbin-Watson stat

2.000671

Prob(F-statistic)

0.003282

 

 

 


Нулевая гипотеза теста: имеется единичный корень, ряд не является стационарным. Вероятность принятия нулевой гипотезы равна 0,0408, что меньше 0,05. Следовательно при 5% уровне значимости принимаем альтернативную гипотезу – ряд стационарен. Спецификация теста – константа. Т. е. ряд стационарен относительно константы.
Авторегрессионная модель.
Построим авторегрессионную модель первого порядка: 

Dependent Variable: E_S

 

 

Method: Least Squares

 

 

Date: 07/26/24  Time: 11:43

 

 

Sample (adjusted): 1/03/2013 2/15/2024

 

Included observations: 2901 after adjustments

 

Convergence achieved after 4 iterations

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

1.179961

0.034289

34.41218

0.0000

AR(1)

0.996764

0.001479

674.0387

0.0000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R-squared

0.993660

    Mean dependent var

1.185164

Adjusted R-squared

0.993657

    S.D. dependent var

0.074861

S.E. of regression

0.005962

    Akaike info criterion

-7.406151

Sum squared resid

0.103044

    Schwarz criterion

-7.402033

Log likelihood

10744.62

    Hannan-Quinn criter.

-7.404667

F-statistic

454328.2

    Durbin-Watson stat

2.044001

Prob(F-statistic)

0.000000

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Inverted AR Roots

      1.00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Модель запишется в виде:
E_S = 1.17996086497 + [AR(1)=0.996763974283]     (1)
Проверим наличие автокорреляции с помощью теста Бреуша-Годфри до лага 5-го порядка:

Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F-statistic

1.903562

    Prob. F(5,2894)

0.0905

Obs*R-squared

9.509554

    Prob. Chi-Square(5)

0.0904

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Нулевая гипотеза теста: автокорреляция отсутствует. Вероятность принятия нулевой гипотезы 0,09, что больше 0,05. При 5% уровне значимости можем принять нулевую гипотезу. В модели отсутствует автокорреляция.
Тест на структурную стабильность. Тест Чоу.
Проверим структурную стабильность модели относительно даты 23 июня 2016 года (Брэксита), для этого воспользуемся тестом Чоу.

Chow Breakpoint Test: 6/23/2016

Null Hypothesis: No breaks at specified breakpoints

Equation Sample: 1/03/2013 2/15/2024

F-statistic

5.705194

Prob. F(2,2897)

0.0034

Log likelihood ratio

11.40370

Prob. Chi-Square(2)

0.0033

Wald Statistic

11.45038

Prob. Chi-Square(2)

0.0033


Нулевая гипотеза теста: модель структурна стабильна. В нашем случае вероятность принятия нулевой гипотезы меньше 0,05, следовательно, принимаем альтернативную гипотезу. Относительно даты 23.06.2016 модель структурно не стабильна. Т. е. имеет смысл разбить модель на два периода: до 23 июня 2016 года и после 23 июня 2016 года.
Построим график остатков модели (1).
Рис. 3. Остатки модели (1).
Визуально дисперсия остатков не является постоянной.
Проверим наличие ARCH-процессов в модели (1).

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic

41.28954

Prob. F(1,2898)

0.0000

Obs*R-squared

40.73762

Prob. Chi-Square(1)

0.0000

Нулевая гипотеза теста ARCH-процессы отсутствуют. Вероятность принятия нулевой гипотезы составляет 0,0000, что намного меньше 0,05. При 5% уровне значимости отвергаем нулевую гипотезу.
Построение GARCH-моделей.
Построим модель временного ряда, используя GARCH-модели, с условной гетероскедастичностью.

Dependent Variable: E_S

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Date: 07/26/24 Time: 11:51

Sample (adjusted): 1/03/2013 2/15/2024

Included observations: 2901 after adjustments

Convergence achieved after 23 iterations

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*GARCH(-1)

Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

C

1.181050

0.022455

52.59729

0.0000

AR(1)

0.996159

0.001477

674.2910

0.0000

Variance Equation

C

1.14E-07

4.04E-08

2.823576

0.0047

RESID(-1)^2

0.053075

0.004773

11.12013

0.0000

GARCH(-1)

0.946068

0.005232

180.8313

0.0000

R-squared

0.993659

Mean dependent var

1.185164

Adjusted R-squared

0.993657

S.D. dependent var

0.074861

S.E. of regression

0.005962

Akaike info criterion

-7.605485

Sum squared resid

0.103050

Schwarz criterion

-7.595190

Log likelihood

11036.76

Hannan-Quinn criter.

-7.601776

Durbin-Watson stat

2.042647

Inverted AR Roots

1.00

Модель запишется в виде:
E_S = 1.18104950964 + [AR(1)=0.996159122621]
GARCH = 1.14132899798e-07 + 0.0530747898021*RESID(-1)^2 + 0.946067857607*GARCH(-1) (2)
Проверим наличие ARCH-процессов в модели (2):

Heteroskedasticity Test: ARCH

F-statistic

7.90E-05

Prob. F(1,2898)

0.9929

Obs*R-squared

7.90E-05

Prob. Chi-Square(1)

0.9929


Нулевая гипотеза теста ARCH-процессы отсутствуют. Вероятность принятия нулевой гипотезы составляет 0,9929, что больше 0,05. При 5% уровне значимости принимаем нулевую гипотезу.
Проверим остатки модели на стационарность:
Рис. 4. Коррелограмма остатков модели (2)
Для всех лагов Q-Stat значения Prob больше 0,05, следовательно, остатки модели стационарны, в них нет автокорреляции.
Введём в рассматриваемое уравнение фиктивную переменную U. Данная переменная принимает значение 1 до даты Брэксита и значение 0 после даты Брэксита.
Получим модель:

Dependent Variable: E_S

Method: ML - ARCH

Date: 07/12/24 Time: 17:19

Sample (adjusted): 2 2901

Included observations: 2900 after adjustments

Convergence achieved after 16 iterations

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(4) + C(5)*RESID(-1)^2 + C(6)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) +

C(7)*GARCH(-1)

Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.

U

0.116837

0.005015

23.29622

0.0000

C

1.143940

0.008227

139.0521

0.0000

AR(1)

0.950385

0.005831

162.9759

0.0000

Variance Equation

C

5.46E-05

5.54E-06

9.848046

0.0000

RESID(-1)^2

0.695621

0.011072

62.82423

0.0000

RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0)

-0.701453

0.015848

-44.26092

0.0000

GARCH(-1)

0.532034

0.042929

12.39338

0.0000

R-squared

0.988113

Mean dependent var

1.188695

Adjusted R-squared

0.988105

S.D. dependent var

0.076077

S.E. of regression

0.008297

Akaike info criterion

-6.601333

Sum squared resid

0.206595

Schwarz criterion

-6.587334

Log likelihood

9922.203

Hannan-Quinn criter.

-6.596298

Durbin-Watson stat

1.800648

Inverted AR Roots

.95


Модель запишется в виде:
E_S = 0.116837246289*U + 1.14394049299 + [AR(1)=0.950385408761]

GARCH = 5.4567612351e-05 + 0.695620871231*RESID(-1)^2 - 0.701452994201*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) + 0.532034020631*GARCH(-1)(3)
Фиктивная переменная U в полученной модели является статистически значимой, это ещё раз подтверждает структурную нестабильность модели.
Разобьём временной ряд на два. Первый временной ряд будет включать данные обменного курса до даты 23.06.2016, а второй временной ряд будет включать данные после даты Брэксида.
График временного ряда до 23.06.2016.
Рис. 5. График временного ряда до 23.06.2016.
Построим модель временного ряда до даты 23.06.2016.

Dependent Variable: E_S

 

 

Method: Least Squares

 

 

Date: 07/26/24  Time: 12:04

 

 

Sample (adjusted): 1/03/2013 6/23/2016

 

Included observations: 906 after adjustments

 

Convergence achieved after 4 iterations

 

 

 

 

 

 

Variable

Coefficient

Std. Error

t-Statistic

Prob.  

 

 

 

 

 

C

1.252857

0.068755

18.22205

0.0000

AR(1)

0.996382

0.002986

333.6700

0.0000

 

 

 

 

 

R-squared

0.991946

    Mean dependent var

1.266233

Adjusted R-squared

0.991937

    S.D. dependent var

0.082286

S.E. of regression

0.007389

    Akaike info criterion

-6.975479

Sum squared resid

0.049354

    Schwarz criterion

-6.964863

Log likelihood

3161.892

    Hannan-Quinn criter.

-6.971425

F-statistic

111335.7

    Durbin-Watson stat

1.966465

Prob(F-statistic)

0.000000

 

 

 

 

 

 

 

 

Inverted AR Roots

      1.00

 

 

 

 

 

 

 

Модель запишется в виде:
E_S = 1.25285745088 + [AR(1)=0.996382367181]  (4)
Проверим наличие ARCH-процессов в построенной модели.

Heteroskedasticity Test: ARCH

 

 

 

 

 

 

 

F-statistic

10.61625

    Prob. F(1,903)

0.0012

Obs*R-squared

10.51613

    Prob. Chi-Square(1)

0.0012

 

 

 

 

 

Нулевая гипотеза теста ARCH-процессы отсутствуют. Вероятность принятия нулевой гипотезы намного меньше 0,05. Принимаем альтернативную гипотезу – в модели имеются ARCH-процессы. Воспользуемся оценками GARCH для построения лучшей модели.

Dependent Variable: E_S

 

 

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Date: 07/26/24  Time: 12:07

 

 

Sample (adjusted): 1/03/2013 6/23/2016

 

Included observations: 906 after adjustments

 

Convergence achieved after 41 iterations

 

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

LOG(GARCH) = C(3) + C(4)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(5)

        *LOG(GARCH(-1))

 

 

 

 

 

 

 

Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.  

 

 

 

 

 

C

1.266286

0.058542

21.63036

0.0000

AR(1)

0.996412

0.003010

330.9847

0.0000

 

 

 

 

 

 

Variance Equation

 

 

 

 

 

 

 

C(3)

-0.052207

0.017280

-3.021247

0.0025

C(4)

0.079913

0.014635

5.460503

0.0000

C(5)

1.000635

0.001427

701.2311

0.0000

 

 

 

 

 

R-squared

0.991945

    Mean dependent var

1.266233

Adjusted R-squared

0.991937

    S.D. dependent var

0.082286

S.E. of regression

0.007389

    Akaike info criterion

-7.176197

Sum squared resid

0.049356

    Schwarz criterion

-7.149657

Log likelihood

3255.817

    Hannan-Quinn criter.

-7.166062

Durbin-Watson stat

1.966437

 

 

 

 

 

 

 

 

Inverted AR Roots

      1.00

 

 

 

 

 

 

 

Модель запишется в виде:
E_S = 1.26628635324 + [AR(1)=0.996411657059]
 LOG(GARCH) = -0.0522066717198 + 0.0799129792128*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + 1.00063481992*LOG(GARCH(-1))                (4)
 Тест на наличие ARCH-процессов для модели (4):

Heteroskedasticity Test: ARCH

 

 

 

 

 

 

 

F-statistic

1.012774

    Prob. F(1,903)

0.3145

Obs*R-squared

1.013880

    Prob. Chi-Square(1)

0.3140

 

 

 

 

 

Нулевая гипотеза: ARCH-процессы отсутствуют. Вероятность принятия нулевой гипотезы 0,314, что больше 0,05. При 5% уровне значимости принимаем нулевую гипотезу.
 Проверим остатки модели (4) на стационарность:
Рис. 6. Коррелограмма остатков модели (4).
Для всех лагов Q-Stat значения Prob больше 0,05, следовательно, остатки модели стационарны, в них нет автокорреляции.
Построенную модель (4) можно признать удачной, так как в ней все переменные являются значимыми, коэффициент детерминации имеет высокое значение равное 0,992, модель на 99,2% объясняет изменение результативного показателя курса фунта к евро. Так же в модели отсутствует автокорреляция и гетероскедастичность.
Изобразим наблюдаемые значения, расчётные и остатки для модели (4):
Рис. 7. Наблюдаемые и расчётные значения по модели (4).
Построим график временного ряда после 23.06.2016.
Рис. 8. График временного ряда после 23.06.2016.
Воспользуемся оценками GARCH для построения лучшей модели.

Dependent Variable: E_S

 

 

Method: ML - ARCH (Marquardt) - Normal distribution

Date: 07/26/24  Time: 12:18

 

 

Sample (adjusted): 6/27/2016 2/15/2024

 

Included observations: 1994 after adjustments

 

Convergence achieved after 23 iterations

 

Presample variance: backcast (parameter = 0.7)

GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)^2 + C(5)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) +

        C(6)*GARCH(-1)

 

 

 

 

 

 

 

Variable

Coefficient

Std. Error

z-Statistic

Prob.  

 

 

 

 

 

C

1.152894

0.006677

172.6670

0.0000

AR(1)

0.984845

0.003615

272.4251

0.0000

 

 

 

 

 

 

Variance Equation

 

 

 

 

 

 

 

C

9.63E-08

3.94E-08

2.446175

0.0144

RESID(-1)^2

0.030556

0.006895

4.431537

0.0000

RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0)

0.017972

0.007470

2.405890

0.0161

GARCH(-1)

0.956621

0.005872

162.9187

0.0000

 

 

 

 

 

R-squared

0.963614

    Mean dependent var

1.148325

Adjusted R-squared

0.963596

    S.D. dependent var

0.027100

S.E. of regression

0.005171

    Akaike info criterion

-7.809354

Sum squared resid

0.053256

    Schwarz criterion

-7.792510

Log likelihood

7791.926

    Hannan-Quinn criter.

-7.803168

Durbin-Watson stat

2.098707

 

 

 

 

 

 

 

 

Inverted AR Roots

      .98

 

 

 

 

 

 

 

Модель запишется в виде:
E_S = 1.15289449507 + [AR(1)=0.984844972946]

GARCH = 9.63065324937e-08 + 0.0305557097555*RESID(-1)^2 + 0.0179715676568*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) + 0.95662078847*GARCH(-1)(5)

Тест на наличие ARCH-процессов для модели (5):

Heteroskedasticity Test: ARCH

 

 

 

 

 

 

 

F-statistic

0.091281

    Prob. F(1,1991)

0.7626

Obs*R-squared

0.091369

    Prob. Chi-Square(1)

0.7624

 

 

 

 

 

Нулевая гипотеза: ARCH-процессы отсутствуют. Вероятность принятия нулевой гипотезы 0,763, что больше 0,05. При 5% уровне значимости принимаем нулевую гипотезу.
 Проверим остатки модели (5) на стационарность:
Рис. 9 Коррелограмма остатков модели (5)
Для всех лагов Q-Stat значения Prob больше 0,05, следовательно, остатки модели стационарны, в них нет автокорреляции.
Построенную модель (5) можно признать удачной, так как в ней все переменные являются значимыми, коэффициент детерминации имеет высокое значение равное 0,952, модель на 95,2% объясняет изменение результативного показателя курса фунта к евро. Так же в модели отсутствует автокорреляция и гетероскедастичность.
Прогноз
Изобразим наблюдаемые значения, расчётные и остатки для модели (5):
Рис. 10. Наблюдаемые и расчётные значения по модели (5)
По полученной модели (5) осуществим прогноз курса фунта стерлингов к евро на пять дней вперёд.
Рис. 11. Прогноз по модели (5)
Рис. 12. Прогноз по модели (5)
На первом графике изображены прогнозные значения курса на 5 дней вперёд и 95% доверительные интервалы прогноза. По мере увеличения горизонта прогнозирования неопределённость прогноза растёт.

1

1.180476

2

1.180058

3

1.179646

4

1.179241

5

1.178841

В первый прогнозный день ожидается курс 1,1805, с нижней границей 1,1854 и верхней границей 1,1756. В пятый прогнозный день ожидается курс 1,1788, с нижней границей 1,168 и верхней границей 1,1897.
Выводы.
Целью исследования являлось установить повлияло ли проведение референдума о выходе Великобритании из Евросоюза на курс Фунта стерлинга к Евро. Предмет исследования являются ежедневные данные обменного курса Фунта стерлингов к Евро в период с 2-го января 2013 года по 15 февраля 2024 года.
Визуально при построении рассматриваемого временного ряда мы установили, что на дату референдума курс имеет структурные изменения, т. е. после рассматриваемой даты (23.06.2016) наблюдаем существенное его снижение. Далее мы проверили временной ряд обменного курса на стационарность при помощи расширенного теста Дикки-Фуллера (ADF-тест). Нами было установлено, что рассматриваемый временной ряд является стационарным со спецификацией константа. При построении коррелограммы мы идентифицировали ряд как авторегрессию первого порядка. Так как Partial Correlation имеет чётко выраженный первый лаг, а Autocorrelation убывает по экспоненте.
Методом наименьших квадратов нами были получены оценки авторегрессионной модели первого порядка (модель (1)). Проведя с моделью (1) тест Чоу на структурную стабильность мы установили наличие структурных изменений на дату референдума Брэксит.
Далее мы ввели в рассмотрение фиктивную переменную U, значения которой равны 1 до даты референдума и 0 – после даты референдума. При помощи метода GARCH была построена модель в которою помимо авторегрессионной переменной AR(1) была включена переменная U. В полученной нами модели (2) фиктивная переменная оказалась статистически значимой. Это ещё раз подтвердила структурные изменения на момент проведения референдума.
Установив наличие структурных изменений на дату референдума, мы приняли решение о построении двух моделей. Первая модель описывает изменение обменного курса до даты референдума, а вторая – после даты референдума.
Модель (4) описывает изменения обменного курса до референдума. Её мы получили при помощи оценок GARCH. Построенную модель (4) можно признать удачной, так как в ней все переменные являются значимыми, коэффициент детерминации имеет высокое значение равное 0,992, модель на 99,2% объясняет изменение результативного показателя курса фунта к евро. Так же в модели отсутствует автокорреляция и гетероскедастичность.
Модель (5) описывает изменения обменного курса после даты референдума. Она получена при помощи оценок GARCH.  Построенную модель (5) можно признать удачной, так как в ней все переменные являются значимыми, коэффициент детерминации имеет высокое значение равное 0,964, модель на 96,4% объясняет изменение результативного показателя курса фунта к евро. Так же в модели отсутствует автокорреляция и гетероскедастичность.
По полученной модели (5) был произведён прогноз обменного курса на пять дней вперёд. В первый прогнозный день ожидается курс 1,1805, с нижней границей 1,1854 и верхней границей 1,1756. В пятый прогнозный день ожидается курс 1,1788, с нижней границей 1,168 и верхней границей 1,1897.
Заявка на услуги
Укажите наиболее удобный для ВАС способ связи
и с Вами свяжутся в ближайшее время
Загрузить свой файл
Нажимая на кнопку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных в соответствии с Условиями.
Made on
Tilda