СМЫСЛ

Онлайн помощь студентам

Оставить заявку

Задать вопрос

Вы можете уточнить интересующие вопросы любым удобным для Вас способом

Mail

Модели Марковица и Тобина. Эффективная граница портфелей. Линия CML

Используются ежемесячные данные по доходностям 9-ти рискованных активов.

Исходные данные
Определение доходностей активов за каждый период
Средние доходности и стандартные отклонения
Ковариация между доходностями активов
Определение коэффициента β
Модель Марковица
Коэффициент Шарпа эффективных портфелей модели Марковица
Эффективная граница портфелей модели Марковица
Модель Тобина
Коэффициент Шарпа эффективных портфелей модели Тобина
Эффективная граница. Линия CML

Исходные данные
Для анализа мной выбраны ежемесячные данные по 9 финансовым активам в период с декабря 2014 года по апрель 2023 года. Данные взяты с сайта: https://finance.yahoo.com/quote/IBB/history?p=IBB
Х1 – цена Biotechnology ETF;
Х2 – цена Healthcare ETF;
Х3- цена Artificial Intelligence ETF;
Х4 – цена Semiconductors ETF;
Х5 – цена Alternative Energy Equities ETF;
Х6 – цена Tech-Software Sector ETF;
Х7 – цена Cybersecurity ETF;
Х8 – цена Gaming ETF;
Х9 – цена Cloud Computing ETF;
Для характеристики рынка в целом были взяты ежемесячные данный индекса S&P 500.

Определение доходностей активов за каждый период
По взятым мной данным найдены ежемесячные темпы прироста показателей, а также выплаченные дивиденды d_i, выраженные в процентах по формуле (они же доходности):
Y_i = y_i + d_i
y_i - цена в i-ый период.
R_i = (Y_i /Y_i-1 - 1)*100%,
Где Y_i – значение показателя в i-ый период, Y_i-1 – значение показателя в (i-1)-ый период.

Рис. 1. Доходности активов.

Средние доходности и стандартные отклонения активов
Далее по рассчитанным показателям доходностей находим их среднее значение и среднее квадратическое отклонение используя формулы EXCEL.
Для актива X1 среднее: =СРЗНАЧ(B4:B103)
Для актива X1 стандартное отклонение: =СТАНДОТКЛОН.Г(B4:B103)
Аналогично находим средние и стандартные отклонения для других активов.
Данные представлены в таблице 1.
Далее по рассчитанным показателям доходностей находим их среднее значение и среднее квадратическое отклонение, данные представлены в таблице 1.

Таблица 1.

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	M
Среднее:	0,48%	0,77%	1,43%	1,80%	1,02%	1,35%	0,76%	0,48%	0,99%	0,76%
Станд.откл:	0,063462	0,042443	0,058523	0,074166	0,077869	0,057529	0,059531	0,076454	0,058368	0,04529

Видим, что наибольшие доходности имеет SemiconductorsETF, его доходность составляет 1,8% ежемесячно. Наиболее рискованным активом является Alternative Energy Equities ETF. Наименее рискованный актив - это Healthcare ETF, риск которых наименьший и составляет 4,24%, доходность его составляет 0,77% ежемесячно. Среднерыночная доходность, рассчитанная по индексу S&P 500 составляет 0,76% в месяц, среднерыночный риск составляет 4,529%.

Ковариация между доходностями активов
Находим ковариационную матрицу для рассматриваемых активов с помощью надстройки «анализ данных». Выбираем в надстройке "Анализ данных" инструмент ковариация.

Рис.2. Инструмент анализа данных.

Ковариационная матрица представлена в таблице 2.

Таблица 2.

	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9
X1	0,004027	0,002152	0,002207	0,002575	0,00239	0,002378	0,00252	0,002788	0,00243
X2	0,002152	0,001801	0,001541	0,001666	0,001583	0,001527	0,001657	0,001898	0,001473
X3	0,002207	0,001541	0,003425	0,003823	0,002747	0,003122	0,002671	0,003039	0,003059
X4	0,002575	0,001666	0,003823	0,005501	0,003367	0,003216	0,00272	0,003738	0,003154
X5	0,00239	0,001583	0,002747	0,003367	0,006064	0,002851	0,002844	0,003337	0,002735
X6	0,002378	0,001527	0,003122	0,003216	0,002851	0,00331	0,002882	0,002896	0,003164
X7	0,00252	0,001657	0,002671	0,00272	0,002844	0,002882	0,003544	0,002694	0,002928
X8	0,002788	0,001898	0,003039	0,003738	0,003337	0,002896	0,002694	0,005845	0,002918
X9	0,00243	0,001473	0,003059	0,003154	0,002735	0,003164	0,002928	0,002918	0,003407

Определение коэффициента β
Находим ковариации между доходностями активов и среднерыночной доходностью:
V_im = Cov(R_i, RTSI)
R_i – доходность i-го актива, RTSI – темп прироста индекса РТС.
Используем статистическую функцию Excel КОВАРИАЦИЯ.В.
Для актива Х1 имеем: =КОВАРИАЦИЯ.В(B4:B103;$L4:$L103)
Аналогично находим ковариации меду доходностями других активов и среднерыночной доходностью.

Таблица 3

V_im
0,00191	0,001551	0,002384	0,002731	0,002213	0,002214	0,002052	0,002735	0,002208	0,00191

Далее находим β- коэффициенты для каждого актива по формуле:
β_i= V_im/²_m
V_im- ковариация между доходностями актива и среднерыночной доходностью, ²_m- дисперсия среднерыночной доходности.

Таблица 4

βi
0,930921	0,755938	1,16232	1,331623	1,07883	1,079507	1,000348	1,333286	1,076604	0,930921

Коэффициент β ценной бумаги является мерой чувствительности ценной бумаги к изменению рынка в целом. Наиболее чувствительным к изменению рынка является актив Х8 (Gaming ETF). Если доходность по рынку в целом возрастёт на 1%, то доходность актива Gaming ETF возрастёт на 1,33%.

Модель Марковица
Используя полученные данные строим модель Марковица для определения эффективных портфелей и дальнейшего построения эффективной границы.
Оптимизация портфеля ценных бумаг сводится к задаче нелинейного программирования:

Модель Марковица

где m_p- выбранное инвестором значение средней эффективности портфеля.
COV(R_i, R_j)-ковариация между доходностями активов,
b_ij– элемент матрицы ковариации,
x_ix_j– доли активов в портфеле, соответствующие элементу ковариационной матрицы b_ij.
x_i– доля i-го актива в портфеле,
m_i– средняя доходность i-го актива.
Данную модель реализуем в Excel с помощью надстройки «Поиск решения».
В ячейках B2:J2 задаём значения средних доходностей активов. В ячейках B4:J12 задаём матрицу ковариации доходностей. В ячейках B14:J14 будут искомые доли эффективного портфеля – переменные X1, X2, X3, X4, X11, X6, X12, X13, X9 соответственно.
В ячейках B16:J16 задаём доходности активов.
Доходность актива X1 в ячейке B16: =B2*B14;
Доходность актива X2 в ячейке C16: =C2*C14;
Аналогично находим доходности других активов, включённых в портфель.
Тогда общая доходность портфеля: =СУММ(B16:J16)
Задаём целевую функцию – минимальный риск в ячейке L15: = СУММПРОИЗВ(МУМНОЖ(B14:J14;B4:J12);B14:J14)
Суммарная доля активов в ячейке L14: =СУММ(B14:J14)
В надстройке «поиск решения» задаём целевую функцию и ограничения:

Рис.3. Диалоговое окно надстройки «поиск решения»

Задаём в качестве ожидаемых нижних границ доходностей портфеля значения: 0,8%, 0,85%, 0,9%, 0,95%, 1%, 1,05%, 1,1%, 1,15%, 1,2%, 1,3%, 1,4%, 1,5%, 1,6%, 1,7%, 1,78%. Для каждого значения доходности рассчитываем эффективный портфель. Получаем 15 эффективных портфелей, представленных в таблице 5.

Таблица 5.

Портфели	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9
1	0	0,85421	0	0	0,000701	0	0	0	0,145089
2	0	0,825139	0,052207	0	0,000706	0,061074	0	0	0,060875
3	0	0,783541	0,102557	0	0	0,113902	0	0	0
4	0	0,71324	0,149784	0,01169	0	0,125286	0	0	0
5	0	0,660551	0,123467	0,059157	0	0,156825	0	0	0
6	0	0,607862	0,097153	0,106623	0	0,188361	0	0	0
7	0	0,555174	0,07084	0,154089	0	0,219898	0	0	0
8	0	0,502485	0,044525	0,201555	0	0,251435	0	0	0
9	0	0,449796	0,018212	0,249021	0	0,282971	0	0	0
10	0	0,341085	0	0,333532	0	0,325383	0	0	0
11	0	0,230609	0	0,41253	0	0,356861	0	0	0
12	0	0,120134	0	0,491527	0	0,388339	0	0	0
13	0	0,009659	0	0,570524	0	0,419817	0	0	0
14	0	0	0	0,779365	0	0,220635	0	0	0
15	0	0	0	0,95639	0	0,04361	0	0	0

Коэффициент Шарпа эффективных портфелей модели Марковица
Рассчитаем для каждого портфеля коэффициент Шарпа по формуле:
S = (R_p - R_f)/_p,
Где R_p- доходность портфеля, R_f– безрисковая ставка, _p– риск портфеля. В качестве безрисковой ставки возьмём доходность казначейских облигаций США за 10 лет. (3,57% годовых или 0,29% ежемесячно)
Доходности, риски и коэффициенты β портфелей представлены в таблице 6.

Таблица 6.

Портфели	Риск	Доходность	β портфеля	Коэф. Шарпа
1	4,19%	0,80%	0,802689	0,121064
2	4,20%	0,85%	0,816664	0,132681
3	4,22%	0,90%	0,834471	0,1439
4	4,26%	0,95%	0,864076	0,154286
5	4,33%	1,00%	0,890912	0,163339
6	4,41%	1,05%	0,917749	0,171714
7	4,52%	1,10%	0,944585	0,178597
8	4,64%	1,15%	0,971421	0,184754
9	4,77%	1,20%	0,998258	0,190201
10	5,09%	1,30%	1,053232	0,19789
11	5,45%	1,40%	1,108895	0,203167
12	5,85%	1,50%	1,164557	0,206369
13	6,28%	1,60%	1,22022	0,208162
14	6,79%	1,70%	1,275998	0,207255
15	7,28%	1,78%	1,320628	0,204294

Эффективная граница портфелей
Строим эффективную границу портфелей.

Рис. 4. Эффективная граница портфелей.

Наиболее крутой участок кривой наблюдается на участке от первого портфеля до четвёртого. Т. е. желающий максимизировать доходность, и не склонный к риску инвестор выберет четвёртый портфель с рисом 4,26% и доходностью 0,95%. Для инвестора со средним риском наиболее подходит 7-ой портфель с риском 4,52% и доходностью 1,1%. Наибольшее значение коэффициента Шарпа соответствует 13-му портфелю. Т. е. доходность инвестиции на единицу риска в 13-м портфеле наивысшая и составляет 0,208.
Меньше всего зависит от рынка 1-ый портфель, так как коэффициент β для него наименьший по значению и составляет 0,8. Отметим – все полученные портфели напрямую зависят от рынка, так как для всех коэффициент β положительный. Чем более рискованный портфель, тем больше по значению у него коэффициент β.

Модель Тобина
Вводим безрисковый актив X0. В качестве безрисковой ставки берём доходность 10 летних казначейских облигаций США, которая составляет 3,57% годовых или 0,29% ежемесячно (1,0357^(1/12)-1= 0,0029)
Модель запишется в виде:

Модель Тобина

где - m_pвыбранное инвестором значение средней эффективности портфеля,
m₀– доходность безрискового актива,
x₀- доля безрискового актива в портфеле.
COV(R_i, R_j) - ковариация между доходностями активов,
b_ij– элемент матрицы ковариации,
x_ix_j– доли активов в портфеле, соответствующие элементу ковариационной матрицы,
x_i– доля i-го актива в портфеле,
m_i– средняя доходность i-го актива.
Данную модель реализуем в Excel с помощью надстройки «Поиск решения».
В ячейках B2:K2 задаём значения средних доходностей активов. В ячейках B4:J12 задаём матрицу ковариации доходностей. В ячейках B14:K14 будут искомые доли эффективного портфеля – переменные X1, X2, X3, X4, X11, X6, X12, X13, X9, X0 соответственно.
В ячейках B16:K16 задаём доходности активов.
Доходность актива X1 в ячейке B16: =B2*B14;
Доходность актива X2 в ячейке C16: =C2*C14;
Аналогично находим доходности других активов, включённых в портфель.
Тогда общая доходность портфеля: =СУММ(B16:K16)
Задаём целевую функцию – минимальный риск в ячейке L15: = СУММПРОИЗВ(МУМНОЖ(B14:J14;B4:J12);B14:J14)
Суммарная доля активов в ячейке L14: =СУММ(B14:K14)
В надстройке «поиск решения» задаём целевую функцию и ограничения:

Рис.5. Диалоговое окно надстройки «поиск решения»

Задаём в качестве ожидаемых нижних границ доходностей портфеля значения: 0,29%, 0,4%, 0,5%, 0,6%, 0,7%, 0,8%, 0,9%, 1%, 1,1%, 1,2%, 1,3%, 1,4%, 1,5%, 1,6%, 1,78%. Для каждого значения доходности рассчитываем эффективный портфель. Получаем 15 эффективных портфелей, представленных в таблице 7.

Таблица 7.

Портфели	X1	X2	X3	X4	X5	X6	X7	X8	X9	X0
1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
2	0	0	0	0,050108	0	0,030091	0	0	0	0,9198
3	0	0	0	0,096825	0	0,058146	0	0	0	0,845029
4	0	0	0	0,143542	0	0,0862	0	0	0	0,770257
5	0	0	0	0,190259	0	0,114255	0	0	0	0,695486
6	0	0	0	0,236976	0	0,14231	0	0	0	0,620714
7	0	0	0	0,283693	0	0,170364	0	0	0	0,545943
8	0	0	0	0,33041	0	0,198419	0	0	0	0,471171
9	0	0	0	0,377127	0	0,226473	0	0	0	0,3964
10	0	0	0	0,423844	0	0,254528	0	0	0	0,321628
11	0	0	0	0,470561	0	0,282583	0	0	0	0,246857
12	0	0	0	0,517278	0	0,310638	0	0	0	0,172085
13	0	0	0	0,563995	0	0,338692	0	0	0	0,097313
14	0	0	0	0,610712	0	0,366746	0	0	0	0,022542
15	0	0	0	0,95639	0	0,04361	0	0	0	0

Коэффициент Шарпа по модели Тобина
Рассчитаем для каждого портфеля коэффициент Шарпа по формуле:
S = (R_p - R_f)/_p,
Где R_p- доходность портфеля, R_f– безрисковая ставка, _p– риск портфеля. В качестве безрисковой ставки возьмём доходность казначейских облигаций США за 10 лет. (3,57% годовых или 0,29% ежемесячно)
Доходности, риски и коэффициенты β портфелей представлены в таблице 8.

Таблица 8.

Портфели	Риск	Доходность	β портфеля	Коэф. Шарпа
1	0,00%	0,29%	0	-
2	0,51%	0,40%	0,099209	0,210313
3	0,99%	0,50%	0,191704	0,209353
4	1,47%	0,60%	0,284198	0,20902
5	1,95%	0,70%	0,376693	0,208851
6	2,43%	0,80%	0,469187	0,208749
7	2,91%	0,90%	0,561682	0,20868
8	3,39%	1,00%	0,654176	0,208631
9	3,87%	1,10%	0,746671	0,208594
10	4,35%	1,20%	0,839165	0,208565
11	4,83%	1,30%	0,93166	0,208542
12	5,31%	1,40%	1,024154	0,208523
13	5,79%	1,50%	1,116649	0,208508
14	6,27%	1,60%	1,209143	0,208494
15	7,28%	1,78%	1,320628	0,204294

Эффективная граница. Линия CML
Строим эффективную границу портфелей.

Рис. 6. Эффективная граница портфелей.

Комбинация рисковых ценных бумаг с безрисковой ценной бумагой позволяет улучшить эффективную границу портфелей. Точка m₀=0.29%, расположенная на оси ординат соответствует портфелю, которой состоит только из безрискового актива. Обозначим её L. Точка М – это точка касания прямой, проведённой из точки L к эффективной границе портфелей Марковица. Участок LMсоответствует эффективным портфелям Тобина, в которые включён безрисковый актив. Из рисунка видно, что все точки отрезка LMнаходятся левее эффективной границы Марковица. Следовательно, при одной и той же доходности риск портфеля Тобина будет меньше риска портфеля Марковица. В портфеле Марковица риску 4,33 соответствует доходность 1%, а в портфеле Тобина риску 4,33 соответствует доходность 1,2%. При одном и том же уровне риска доходность портфеля Тобина на участке LMбудет большей.
По коэффициенту Шарпа лучшим будет второй портфель, так как значение данного коэффициента наибольшее в данном портфеле. Т. е. доходность инвестиции на единицу риска в 2-м портфеле наивысшая и составляет 0,7365.

Рабочий файл

Заявка на услуги

Укажите наиболее удобный для ВАС способ связи
и с Вами свяжутся в ближайшее время

Нажимая на кнопку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных в соответствии с Условиями.