Приближённое решение дифференциальных уравнений в Excel. Метод Рунге-Кутта и метод Эйлера.

Статья с подробным разбором.

Решение Решение дифференциального уравнения Методом Рунге-Кутта (IV) на отрезке [a, b]
Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Построение точного решения на отрезке [a, b] и сравнение его с приближённым

Используются данные, содержащиеся в файле: https://t.me/smys_l/160

Решение дифференциального уравнения методом Рунге-Кутта (IV) на отрезке [a, b]
Найдём решение уравнения y' = y² - y/x на отрезке [1, 2] методом Рунге-Кутта (IV) с точностью 10^-4.
Вычисления будем производить по формуле:

Метод Рунге-Кутта (IV)

Задаём в EXCEL формулы коэффициентов k1, k2, k3, k4

Значения k1, k2, k3, k4

Задаём y(n+1).

Значения y(n+1)

Далее находим значения для всей таблицы:

Таблица расчётов по методу Рунге-Кутта (IV)

По расчётам строим приближённую кривую (IV).

Решение по методу Рунге-Кутта (IV)

Решение дифференциального уравнения методом Эйлера
Найдём решение уравнения y' = y² - y/x на отрезке [1, 2] методом Эйлера с точностью 10^-4.
Вычисления будем производить по формуле:

Метод Эйлера

Задаём в EXCEL значения k1:

Значения k1

Задаём значения y(n+1):

Значения y(n+1)

Далее находим значения для всей таблицы:

Расчёт по методу Эйлера

Построим решения по методу Рунге-Кутта (IV) и Эйлера на одном графике.

Решение по методу Рунге-Кутта (IV) и Эйлера

Видим решения не совпадают.

Построение точного решения и сравнение его с приближённым
Частное решение заданного дифференциального уравнения, полученное точным методом запишется в виде:

Точное решение.

Находим численные значения точного решения на заданном отрезке:

Точное решение дифференциального уравнения

Построим решения по методу Рунге-Кутта (IV), методу Эйлера и точного метода на одном графике.

Решение по методам Рунге-Кутта (IV) и Эйлера, точного метода

Видим, что решение по методу Рунге-Кутта (IV) и точного метода визуально совпадают. По методу Эйлера наблюдаем заметные отклонения. Но по сути метод Эйлера - это метод Рунге-Кутта (I). Т. е. с увеличением порядка в методе Рунге-Кутта точность решения возрастает.
Файл с решением:
https://t.me/smys_l/160

Заявка на услуги

Укажите наиболее удобный для ВАС способ связи
и с Вами свяжутся в ближайшее время

Нажимая на кнопку, Вы соглашаетесь на обработку персональных данных в соответствии с Условиями.